Projet scientifique de Master
Débruitage d’images par équations aux dérivées partielles
Comparaison documentée de la chaleur et de Perona–Malik directionnelle, avec résultats PSNR/SSIM sur images synthétiques, coauteurs et limites explicites.
La question scientifique
Dans quelles conditions la diffusion dépendant du gradient modifie-t-elle le compromis entre réduction du bruit et préservation des contours, par rapport à la diffusion linéaire ? Ce Projet scientifique de Master étudie cette question sur des images synthétiques en niveaux de gris dont les références propres sont connues.
Projet académique de cours · Module : Modélisation déterministe et applications · Encadrement : Pr. Hatim Tayeq. Rapport et présentation réalisés par Halhoul Mhamed et Khalil Amraoui. Ce travail est un projet académique, sans revendication de nouveauté algorithmique.
Des modèles EDP à une comparaison contrôlée
L’implémentation compare la chaleur aux conductances exponentielle et rationnelle de Perona–Malik (PM). Les trois méthodes utilisent Euler explicite, des flux partagés conservatifs, des bords à flux nul et une grille directionnelle à quatre voisins. Les calculs NumPy float64 s’exécutent sur CPU. Le rapport établit la conservation de la moyenne et un principe du maximum discret sous sa borne de pas de temps ; ces propriétés concernent le schéma discret effectivement implémenté.
L’étude archivée contient deux images synthétiques 128 × 128, trois niveaux de bruit gaussien (σ = 0,025, 0,05, 0,10) et dix graines. Les mêmes 60 observations bruitées sont partagées entre la chaleur et huit variantes PM : deux conductances et quatre valeurs de K (0,025, 0,05, 0,10, 0,20). Avec Δt = 0,20 et Δx = Δy = 1, huit checkpoints de n = 0 à n = 80 produisent 540 trajectoires de solveur et 4 380 lignes de métriques. L’évaluation numérique utilise des tableaux non tronqués et une plage de données fixée à 1 ; seul l’affichage des images est borné à [0,1].
Ma contribution documentée
L’attribution du dépôt désigne Halhoul Mhamed comme auteur du logiciel (sous la forme « Mhamed Halhoul ») : solveurs numériques, chaîne expérimentale, métriques, tests et archives de résultats sont disponibles avec leur code source. Halhoul Mhamed et Khalil Amraoui sont coauteurs du rapport et de la présentation. Les documents publics ne répartissent pas leurs tâches de rédaction ni l’auteur de chaque démonstration.
Résultats mesurés et contre-exemples
Le cas fixé ci-dessous utilise l’image de formes géométriques avec σ = 0,10, n = 20 et K = 0,10 pour les deux conductances PM. Il s’agit de moyennes sur dix graines, distinctes de l’observation individuelle montrée dans les figures.
| Méthode | PSNR (dB) | SSIM |
|---|---|---|
| Observation bruitée | 19,998888 ± 0,045764 | 0,216790 ± 0,001288 |
| Chaleur | 23,648227 ± 0,043245 | 0,801713 ± 0,002319 |
| PM exponentielle | 28,344885 ± 0,235089 | 0,625369 ± 0,013708 |
| PM rationnelle | 34,652954 ± 0,297408 | 0,929244 ± 0,002746 |
PM rationnelle améliore les deux scores par rapport à la chaleur dans ce cas. PM exponentielle améliore le PSNR mais obtient un SSIM inférieur à celui de la chaleur. Le tableau archivé conserve les valeurs sources exactes. Les dispersions sont des écarts-types échantillonnaux, jamais des intervalles de confiance.
Le résultat dépend de la conductance, de K et du temps d’arrêt. Sur la même image et au même niveau de bruit, PM exponentielle avec K = 0,025 à n = 20 reste proche de l’observation bruitée (20,126870 dB ; SSIM 0,219596). PM rationnelle avec K = 0,10 passe de 34,652954 dB à n = 20 à 28,893715 dB à n = 80 : elle peut aussi sur-lisser. À plus faible bruit (σ = 0,025), une itération de chaleur diminue le PSNR de 32,040088 à 30,469103 dB tout en augmentant le SSIM de 0,664633 à 0,874023.
PSNR et SSIM sélectionnent des meilleurs réglages différents dans 13 des 42 couples cas/checkpoint. Ce constat décrit la grille enregistrée ; ce n’est pas un test statistique de supériorité. Les meilleurs réglages retenus avec la référence propre sont des oracles exploratoires, pas une règle de réglage ou d’arrêt pour une photographie inconnue.
Ce que l’étude ne démontre pas
- Seules deux images synthétiques et un bruit gaussien additif ont été étudiés. Dix réalisations de bruit ne remplacent pas dix images différentes ; les performances sur images naturelles restent non évaluées.
- La grille finie de paramètres a été fixée après une phase exploratoire. Certains meilleurs scores apparaissent à n = 80, frontière temporelle, et ne sont donc pas des optima globaux.
- Le champ gaussien standardisé réutilisé rend les cas image/bruit partiellement dépendants. Aucun intervalle de confiance, étude perceptuelle ou métrique quantitative de contours n’est fourni.
- La variante PM à quatre voisins est directionnelle et dépend de la grille. La stabilité discrète ne résout pas la bonne position de Perona–Malik continue, n’établit pas une diffusion entièrement isotrope et ne prouve pas la convergence d’une énergie non linéaire.
- Aucune supériorité générale ni nouvel algorithme n’est revendiqué. Le choix de paramètres sans vérité terrain reste une perspective.
Sources et documents académiques réutilisables
Édition documentaire : 155bbe46d38e0c526493e77af288f08e748ed584. Provenance scientifique du code et des données : ae03109cdb2150b760e5a4b8bcffb56bba1b98e0. Le second identifie l’archive consultée, pas le commit d’exécution historique, que le manifeste ne consigne pas.