Projet scientifique de Master
Complétion de Laplace et régularisation apprise
Trois études inverses de Master documentées : gains spectraux appris, ablations de covariance et mélange vers H¹, avec critères non satisfaits et sources publiques.
Problème scientifique
Reconstruire une trace supérieure inaccessible à partir de moyennes bruitées mesurées sur le bord inférieur d’un rectangle harmonique. Le modèle suppose des flux nuls sur les bords inférieur et latéraux. Les hautes fréquences sont atténuées exponentiellement : une faible perturbation des mesures peut produire une grande erreur de reconstruction.
Ce Projet scientifique de Master, encadré par Pr. Chakir Tajani, comprend trois études successives de régularisation statistique sur des données synthétiques contrôlées.
Approche
Un générateur analytique de 128 modes cosinus est indépendant de l’inverse nominal en différences finies, à 64 coefficients sur une grille 65 × 17. Le benchmark sépare ainsi troncature et discrétisation du bruit, des capteurs manquants et de l’erreur de hauteur.
- Étude 1 — gains spectraux appris : 11 estimateurs affines, dont gains signés/plafonnés, Wiener, Tikhonov et LMMSE. Le réglage utilise deux observations de validation indépendantes par objet, sans sa vérité.
- Étude 2 — ablations des covariances : blocs complets contre diagonaux dans les mêmes espaces d’entrée et de sortie de rang 12 ; des diagnostics séparés isolent la prédiction hors du sous-espace retenu.
- Étude 3 — mélange de covariance : mélanger la covariance empirique du signal vers une cible H¹ de même trace ; comparer le mélange réglé S à sa version γ=0, M0. Le LMMSE empirique original E et M0 sont distincts.
Les trois études apprennent des estimateurs affines linéaires à partir de gains ou de covariances, sans réseau neuronal profond. Les études 2–3 autorisent la vérité synthétique pour la validation, contrairement à l’étude 1.
Contribution documentée
Le dépôt public attribue la formulation mathématique, l’implémentation du benchmark contrôlé, l’analyse, les rapports et les présentations à Halhoul Mhamed. Mes livrables documentés comprennent des hypothèses explicites, des protocoles de comparaison figés, une évaluation appariée, la conservation des résultats négatifs et des figures reliées à leurs archives numériques. La synthèse de 12 pages relie les trois études sans nouvelle expérience.
Les études 2–3 déclarent une assistance d’IA pour le code, l’analyse et la rédaction. La validation académique relève de l’auteur et de l’encadrant. Les estimateurs et la régularisation des covariances ont des antériorités ; l’apport est l’étude comparative structurée et ses limites documentées.
Résultats et critères non satisfaits
| Étude | Comparaison principale | Constat mesuré | Conclusion limitée |
|---|---|---|---|
| 1 · Gains spectraux | Plafonné / signé ; erreur relative L², quantile 95 % | P1 : ratio q95 : 0,9710–0,9899 ; P2 : 1,0000 | Gain utile de 10 % non établi pour aucun des 3 entraînements. |
| 2 · Blocs de covariance | Blocs complets / diagonaux, rang 12 fixé ; risque quadratique L² moyen | F/D : 0,3192–0,3218, sur 5 entraînements | Critères locaux préfixés satisfaits ; F reste moins bon que H¹. |
| 3 · Mélange de covariance | S / M0, N = 64 ; risque quadratique L² moyen | Rapport des risques moyens : 0,9720 en complet ; 1,0045 en partiel | Gain utile de 3 % non établi ; protection partielle satisfaite. |
Étude 1 : l’archive compte 2 376 000 reconstructions, sans échec numérique détecté. Aucune borne q95 corrigée ne passe sous 0,90 : le plafond n’établit pas le gain utile de 10 %. En capteurs complets avec hauteur +5 %, les ratios mesurés valent 1.
Étude 2 : à N = 256, 32 capteurs contigus et bruit absolu 0,01, les cinq comparaisons corrigées satisfont les critères de baisse utile de 5 % du risque quadratique et de protection du q95 à 5 %. F a cependant un risque moyen de 0,051333, contre 0,016452 pour H¹. Le LMMSE complet L atteint 0,012388 dans ce scénario, en comparaison secondaire descriptive ; il se dégrade face à H¹ avec tous les capteurs (+9,2 %) et les objets rugueux (+10,7 %). L’archive compte 1 920 000 évaluations des méthodes et 1 200 000 diagnostics.
Étude 3 : à N = 64, la baisse descriptive en complet est de 2,8 % sur le rapport des risques moyens. Aucune des cinq bornes corrigées ne passe sous 0,97 : le gain utile de 3 % n’est pas établi. Toutes les bornes de protection partielle restent sous 1,03. Rugosité et hauteur +10 % peuvent dégrader les résultats. L’archive compte 1 920 000 reconstructions, dont 480 000 diagnostics.
Ces comptes incluent méthodes, répétitions du bruit et diagnostics ; ce ne sont pas des objets physiques indépendants. Une exécution réussie n’établit pas un avantage scientifique. Le bootstrap principal rééchantillonne les objets physiques appariés et fournit des bornes approximatives, conditionnelles aux entraînements observés.
Limites et interprétation
- Traces synthétiques, hypothèses de flux nul et quelques masques/bruits/hauteurs ne démontrent pas des performances sur des mesures physiques.
- Trois ou cinq entraînements sont observés ; le bootstrap ne garantit pas les résultats de tout futur apprentissage.
- L’étude 2 fixe le rang 12 ; D atteint fréquemment une borne de réglage. L’étude 3 explore 140 mélanges contre 20 candidats par comparateur.
- Les coefficients cosinus du générateur sont indépendants. Une covariance non diagonale dans une autre base ne prouve pas une nouvelle corrélation physique.
- Les pertes et informations de réglage diffèrent entre études ; leurs effets ne se cumulent pas et ne se classent pas directement.
Il s’agit de rapports de projets académiques, sans revendication de nouveauté algorithmique, de supériorité générale ou de publication évaluée par les pairs.
Rapports, présentations, code et données
L’étude 1 et la synthèse sont sur main. Les études 2–3 sont publiées sur des branches dédiées ; les liens ci-dessous pointent vers des commits immuables vérifiés. Les PDF sont rédigés en français ; cette page et la page de synthèse sont entièrement bilingues.